제 11장 미적분 지도
학교수학에서 미적분 지도의 문제가 중점적으로 논의되기 시작한 것은 20세기 초에 수학 교육 개혁 운동을 주도한 Perry와 Klein에 의해서이었다.
Perry의 <수학 교육>이란 강연에서 지력을 개발하고 정서를 함양하며 자연의 신비를 파헤치는 정신적 도구로서의 미적분 지도의 중요성을 강조하였고, Klein의 주도로 제시된 근대 독일 학교수학의 헌장이라고 할 수 있는 'Meran 교육과정‘ 에서는 학생들의 심리적인 발달을 고려하여 엄밀성을 점진적으로 증대시켜 갈 것과 함수를 통합 개념으로 도입하여 직관적인 형태로 미적분까지 총괄하도록 할 것, 응용을 통하여 실생활과 밀접하게 관련지을 것을 요구하였으며, Klein은 그가 수학적 사고의 심장이요 혼이라고까지 주장한 함수적 사고의 개발을 위해 미적분이 학교수학의 본질적인 부분이 되어야 한다고 주장하였다.

1. 미적분 지도 방법
학교수학에서 미분은 여러 가지 방법으로 지도될 수 있다. 첫 번째, 라이프니쯔의 전통적인 무한소 방법을 생각할 수 있으며, 두 번째로 현재 우리 나라에서 다루어 지고 있는 극한 방법을, 세 번째로는 컴퓨터를 이용한 수치적 방법이 있으며, 네 번째 학생들은 알고리즘에 따른  도함수의 계산에는 매우 능숙하지만 미분 가능성에 대하 개념적 이해는 매우 빈약한 상황이며, 다섯 번째  방법을 생각할 수 있고, 여섯 번째로 현대적인 무한소 방법을 생각할 수 있다. 이방법은 라이프니쯔의 무한소 방법과 같이 미분상을 계산한 다음 표준 부분 곧, 그에 무한히 가까운 실수를 택하여 미분계수를 구하는 것으로 이를 이론적으로 뒷받침하는 Robinson의 비표준 해석학에 연유하는 것이다.
이를테면,의 도함수는 무한소 e를 택하여 다음과 같이 구할 수 있다.
 따라서  이다.
라이프니쯔의 무한소 방법은 단순하고 직관적이며 발견적 가치가 크나 18세기 이후 논리적 결함 때문에 포기되 방법이다. Berkeley는 무한소를 사용하여 미분계수를 계산할 때 처음에는 무한소가 변수에 주어진 0이 아닌 증분이라고 생각하다가 나중에는 0이며 따라서 제거될 수 있다고 생각하는 논리적 오류에 빠지고 있다고 비판하였다.
현재 고등학교 미적분 지도에서 사용되고 있는 극한 방법은   방법에의 자연스러운 도입이 될  수 있다는 장점이 있으나, 함수의 증분 의 극한이 dx, dy 인 듯한 암시를 주며, 극한의 성질을 이용하여 미적분법의 논리적인 근거를 제시하고 있으면서도 합성함수의 도함수를 구하는 공식  에서 미분을 약분하듯이 다루는 것이 편리하게 되어 있고, 치환적분을 할 때 계산의 편의상 에서 로 놓고 계산하도록 지도하는 경우가 있어 개념의 이해에 혼란을 일으키기 쉽게 되어 있다.
극한의 식 정의의 인식론적 바탕을 생각해 보면 미적분학의 기초가 되는 극한 개념에 대한 명확한 이해와 엄밀한 정의의 문제는 오랜 기간 동안의 노력 끝에 방법에 의해서 비로소 해결되었으나 극한에 대한 자연스러운 직관적인 접근 자체를 제거할 수는 없는 것이다. 로빈슨의 비표준해석학은 무한소를, 논리적인 오류를 범하지 않고 미적분의 결과를 얻을 수 있도록 엄밀한 토대를 구축하여, 재도입함으로써 미적분의 직관적인 취급을 가능하게 하였다. 현재의 미적분지도는 알고리즘 곧 대수적 접근법을 지나치게 강조하는 경향이 있다. 현실과의 관계로 충만한 응용 가능한 학교수학이 되어야 한다는 수학 교육적인 입장에서 볼 때 무한소 방법에 대한 보다 상세한 교육적 고찰이 요구된다.

2. 미적분의 무한소 접근 방법
오늘날 학교수학에서 미적분의 논리적 기초가 되는 원칙적인 생각은 미적분이 일반적인 극한 개념의 응용이라는 것이다. 미분계수는 변수의 증분과 그에 대응하는 함수의 증분과의 몫이 극한을 가질 때 그러한 극한값으로서 정의되며, 정적분은 상합 하합의 극한값으로 정의된다. 학교수학에서 미적분 지도의 주요 목적은 함수적 사고의 육성에 있으며 이는 과학적 사고를 위한 강력한 도구의 개발을 위한 것이라면, 미적분은 도입시부터 현실과의 관계로 충만하여야 하며, 기본적인 개념이 그러한 문맥 가운데에서 학습되어야 할 것이다.
고대 바빌로니아. 이집트, 중국의 수학이 이른바 ‘실제 수학’이었으며, 이는 실제적 소재를 택하여 전개는 수학이었다는 점을 생각하면 역사 발생적 원리에 따른 미적분의 지도에서 ‘실제 수학적인’ 접근을 시도하는 것은 극히 자연스럽다.
물리학에서의 미분 개념과 그 기호 사용법은 현대 미적분학과 조화를 이루지 못하는 것이지만, 모든 것을 표준 해석학적인 체계 속으로 틀어 넣고자 하는 것은 독단이라고 생각되며, 이들은 물리학 연구에서 매우 유용한 도구이므로 교육적으로 양자를 조정할 수 있는 방안을 생각해야 할 것이며, 그 방안이 미적분의 무한소 접근법이다. 그런데 미분의 사용은 현실적인 형태로 존재하는 실무한으로 무한소 량을 받아들이는 것으로 극한 과정을 사용할 때와는 무한 관념이 다른 것이다.

3. 수학 교사를 위한 미적분학 교재의 역사발생적 전개
현재 사범대학에서 다루어지고 있는 수학 교재는 전통적인 수학 교과서와 마찬가지로 공리, 정의, 보조정리, 정리, 증명으로 이어지는 연역적인 전개 양식에 따라 구성되어 있다. 이러한 연역적인 전개 양식은 최종적으로 다듬어진 현대적인 개념과 정리를, 그것을 탄생시킨 발생의 과정을 숨긴 채, 논리적인 전개 순서에 따라 제시한다. 이러한 교재를 통해서는 수학의 내용적 명제에 대한 ‘일차원적 이해’ 수준의 추구에 머물 수밖에 없으며, 수학의 철학적 역사적 분석 곧, 수학적 사고의 발달 및 그 사회 문화적 배경 나아가 그 교육적 가치와 원리에 관한 ‘ 이차원적 이해’를 기대하기는 어려울 것이다. 이와 같이 수학을 논리적으로 전개된 완성된 지식 체계로 보고 이를 가르치는 형식주의적인 교육의 결함을 극복하기 위하여 일찍부터 제기되어 온 교수학적인 원리가 역사 발생적 원리이다. 역사 발생적 원리는 수학은 완성된 산물인 논리적인 지식체계로서가 아니라, 수학의 역사적 발달 과정을 단축된 형태의 가상적인 과정으로 재구성하여 학생들이 수학화 과정을 재발명할 수 있도록 하려는 교재구성 원리이다.
Toeplitz는 수학의 역사가 문제가 아니라 문제, 사실 및 그 증명의 발생이 문제이며, 이러한 발생의 결정적인 방향 전환이 문제이다 라고 하였다. 미적분학의 발견에 대한 우선권 논쟁에 대한 이러한 분석은 수학을 이해하는 데 도움이 된다. 계산적인 함수 개념은 18세기 전반에 걸쳐 두드러졌으며, Euler, Bernoulli 형제들, Lagrange 등의 위대한 발견을 낳게 하였다. Toeplitz의 연구는 미완성작으로, Fourier 이후의 미적분학의 발달에서의 결정적인 문제 상황을 고려하지 않았으며, 누적적이고 연속적인 발달관에 입각하여 지도 내용의 통일적인 관점을 강조하도록 요구하고 있어, 수학사에서의 변증법적인 발생의 논리를 등한시하고 있다. Wagenschein은 발생적 원리를 발생적-소크라테스적-예제식의 원리를 포괄하는 원리로 보고 있으며, Freudenthal이 ‘전형적인 경우’의 관찰과 분석을 강조하고 있듯이, 본보기는 지식의 일부분이라기보다 그 일반적인 양식인 조작적 scheme 의 형성을 가능하게  하는 통각적인 이해를 돕는 것이다. 이러한 관점에서 Lakatos의 ‘증명과 반박’은 수학 교사 교육을 위한 또 하나의 전형적인 교재가 될 수 있다고 생각된다.

4. 미적분학 대 이산수학
수학교육에서 미적분학이 중핵적인 교수 요목으로 계속 그 위치를 유지해야 한다는 최근의 여러 학자들의 주장의 근거는 다음과 같다. 미적분학은 수학의 여러 분야에 접근하는 데 필수적으로 요구되고 수학 이외의 많은 분야에 광범하게 적용되며 창의적 사고와 독창적인 적용 체험을 제공하는 풍부한 학습 기회를 제공해준다.
이에 비해 이산수학이 더 중요하다고 주장하는 학자들의 주장은 컴퓨터 과학의 폭발적인 발달에 의해 급속히 성장하고 있는 이산수학의 현대적인 응용수학 분야에서의 역할 때문에 이산수학이 더욱 중요하다고 주장하고 있다. 여기서 주목할 것은 이산수학의 중요성을 강조하는 것이 미적분의 수학적 교육적 가치를 완전히 무시한다는 입장은 아니다. 미적분의 고등학교 교재로서의 정당성은 함수적 사고의 절정으로서의 미적분, 교육 수단으로서의 미적분, 관찰 과학의 조직과 표현 형식으로서의 미적분, 차후의 연구와 직업의 관점에서의 미적분, 시의에 적합한 일반 도야의 일부분으로서의 미적분, 교육수단으로서의 미적분이란 다섯 가지 근거로 뒷받침된다는 점은 오늘날에도 변함이 없다고 생각된다.

5. 미적분 지도의 방향
개인의 수학의 학습은 인류의 대역적인 학습과정을 따르는 것이 자연스러우며, 수학적 개념의 발견자는 초보자이었으므로 그들의 접근법은 매우 자연스러운 지도방법이 될 수 있다는 역사 발생적 원리에 따르면, 학교수학에서 기본적인 개념의 기원을 밝혀주는 역사적인 문제 상황에 대한 제시와 무한소 방법이나 극하 방법에 의한 미적분 교재의 구성에 관한 연구가 요구된다. 오늘날 미적분 교재는 학생들이 그 자체가 목적인 것으로 인식하는 기계적인 조작의 집합체이며, 예시하고 설명한 다음 연습을 시키는 지도 결과 기호 조작 능력을 갖는 졸업생을 배출하게 되지만, 계산기를 이용하여 간단히 미적분값을 구할 수 있다면 조작 기술을 개발하는 과정으로서 미적분을 지도할 필요는 약화되어야 할 것이다.
평가에서도 속도 검사보다 역량검사를 강조해야 하며, 난이도를 높여 가는 다단계 문항과 보다 개념적인 사고를 요구하는 평가문항이 바람직할 것이다.